Latitud y longitud

Figura 1: Ilustración de cómo se definen las latitudes y longitudes de la Tierra (Créditos: Peter Mercator, djexplo, CC0).

Cualquier ubicación en un área está definida por dos coordenadas. La superficie de una esfera es un área curva y usar direcciones como arriba y abajo no es útil, porque la superficie de una esfera no tiene principio ni fin. En su lugar, podemos utilizar coordenadas polares esféricas que se originan en el centro de la esfera, que tiene un radio fijo (Figura 1). Quedan dos coordenadas angulares, que en la Tierra se denominan latitud y longitud. El eje de rotación es también el eje de simetría. El Polo Norte se define como el punto donde el eje teórico de rotación coincide con la superficie de la esfera, y la Tierra gira en sentido antihorario cuando se ve el polo desde arriba. El punto opuesto es el Polo Sur. El ecuador se define como el círculo máximo a medio camino entre los polos.

Las latitudes son círculos paralelos al ecuador. Se cuentan desde 0° en el ecuador hasta ±90° en los polos. Las longitudes son grandes círculos que conectan los dos polos de la Tierra. Para una posición determinada en la Tierra, la longitud que pasa por el cenit, que es el punto directamente encima, se llama meridiano. Esta es la línea que aparentemente cruza el Sol al mediodía local. El origen de esta coordenada se define como el meridiano de Greenwich, donde se encuentra el Real Observatorio de Inglaterra. A partir de ahí, las longitudes se cuentan desde 0° hasta ±180°.

Ejemplo: Heidelberg en Alemania se encuentra a 49,4° Norte y 8,7° Este.

Elevación del polo (altura del polo)
Si proyectamos el sistema de coordenadas terrestres de latitudes y longitudes en el cielo, obtenemos el sistema de coordenadas ecuatoriales celestes. El ecuador terrestre se convierte en el ecuador celeste y los polos geográficos se extrapolan para construir los polos celestes. Si tomáramos una fotografía del cielo del norte con una larga exposición, veríamos por las estelas de las estrellas que todas giran alrededor de un punto común, que es el polo norte celeste (Figura 2).

En el hemisferio norte, hay una estrella moderadamente brillante cerca del polo celeste, que es la Estrella Polar o Polaris. Es la estrella más brillante de la constelación de la Osa Menor, u Osa Menor (Figura 3). En la era actual, Polaris está a menos de un grado de diferencia. Sin embargo, hace 1000 años estaba a 8° del polo. Por lo tanto, hoy podemos usarlo como indicador de la posición del polo norte celeste. En el polo sur celeste no existe ninguna estrella que pueda observarse a simple vista. Hay que aplicar otros procedimientos para encontrarlo.

Figura 2: Rastros de estrellas en el cielo después de un tiempo de exposición de aproximadamente 2 horas (Crédito: Ralph Arvesen, Live Oak star trails, https://www.flickr.com/photos/rarvesen/9494908143, https://creativecommons. org/licenses/by/2.0/legalcode)

Figura 3: Configuración de las dos constelaciones Osa Mayor (Osa Mayor) y Osa Menor (Osa Menor) en el cielo del norte. Polaris, la Estrella Polar, que está cerca del verdadero polo norte celeste, es la estrella más brillante de la Osa Menor (Crédito: Bonč, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ursa_Major_- Ursa_Minor -_Polaris.jpg, 'Osa Mayor – Osa Menor – Polaris', basado en https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ursa_Major_and_Ursa_Minor_Constellations.jpg, colores invertidos por Markus Nielbock, https://creativecommons.org/licenses/by-sa/ 3.0/código legal).

Si estuviéramos exactamente en el Polo Norte geográfico, Polaris siempre estaría directamente encima de nosotros. Podemos decir que su elevación sería (casi) 90°. Esta información introduce el sistema de coordenadas horizontales (Figura 4), que es una referencia natural que utilizamos todos los días. Nosotros, los observadores, somos el origen de ese sistema de coordenadas situado en un plano, cuyo borde es el horizonte. El cielo se imagina como un hemisferio superior. El ángulo entre un objeto en el cielo y el horizonte es la altitud o elevación. La dirección dentro del plano se expresa como un ángulo entre 0° y 360°, el acimut, que normalmente se mide en el sentido de las agujas del reloj desde el norte. En navegación, esto también se llama rumbo. El meridiano es la línea que conecta el norte y el sur en el horizonte y pasa por el cenit.

Figura 4: Ilustración del sistema de coordenadas horizontales. El observador es el origen de las coordenadas asignadas como azimut y altitud o elevación (Crédito: TWCarlson, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Azimuth-Altitude_schematic.svg, 'Azimuth-Altitude Schematic', https: //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode).

Para cualquier otra posición en la Tierra, el polo celeste o Polaris aparecería a una elevación inferior a 90°. En el ecuador, aparecería justo en el horizonte, es decir, a una elevación de 0°. La correlación entre la latitud (Polo Norte = 90°, Ecuador = 0°) y la elevación de Polaris no es una coincidencia. La Figura 5 combina los tres sistemas de coordenadas mencionados. Para un observador determinado en cualquier latitud de la Tierra, el sistema de coordenadas horizontales local toca el sistema de coordenadas polares esféricas terrestres en un único punto tangente. El boceto demuestra que la elevación del polo norte celeste, también llamada altura del polo, es exactamente la latitud norte del observador en la Tierra.

Figura 5: Cuando se combinan los tres sistemas de coordenadas (esférico terrestre, ecuatorial celeste y horizontal local), queda claro que la latitud del observador es exactamente la elevación del polo celeste, también conocida como altura del polo (Crédito: M. Nielbock, trabajo propio).

De esto podemos concluir que si medimos la elevación de Polaris, podemos determinar nuestra latitud en la Tierra con una precisión razonable.

Triángulos y trigonometría
El concepto de kamal se basa en las relaciones dentro de los triángulos. Se trata de construcciones geométricas muy simples con las que trabajaban los antiguos griegos. Una regla básica es que la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180° o π. Esto depende de si los ángulos se miden en grados o radianes. Un radian se define como el ángulo subtendido por un arco cuya longitud es igual al radio del círculo subyacente. Un círculo completo mide 360° o 2π.

Los lados de un triángulo y sus ángulos están conectados mediante funciones trigonométricas, por ejemplo, seno, coseno y tangente. Las relaciones más sencillas se pueden ver en triángulos rectángulos, donde uno de los ángulos mide 90° o π/2.

Figura 6: Un triángulo rectángulo en el que γ es el ángulo recto (Crédito: Dmitry Fomin, CC0).

La hipotenusa es el lado de un triángulo opuesto al ángulo recto. En la Figura 6, es c. Los otros lados se llaman patas o catetos. El cateto opuesto a un ángulo dado se llama cateto opuesto, mientras que el otro es cateto adyacente. En un triángulo rectángulo, las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se expresan como funciones trigonométricas de los ángulos.

sen α = a/c = cateto opuesto / hipotenusa (Ecuación 1)

cos α = b/c = cateto adyacente / hipotenusa (Ecuación 2)

tan α = (sin α) / (cos α) = a/b = cateto opuesto / cateto adyacente (Ecuación 3)

El teorema de Pitágoras nos dice algo sobre las relaciones entre los tres catetos de un triángulo rectángulo. Lleva el nombre del antiguo matemático griego Pitágoras y afirma que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

c 2 = a 2 + b 2 (Ecuación 4)

Para triángulos generales, esto se expande a la ley de los cosenos.

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab ∙ cos γ (Ecuación 5)

Para γ=90°, se reduce al Teorema de Pitágoras.

Navegación temprana
Los primeros pueblos marineros a menudo navegaban a lo largo de las costas antes de que se desarrollaran habilidades de navegación sofisticadas y se inventaran herramientas. Las direcciones de navegación ayudaron a identificar puntos de referencia costeros (Hertel, 1990). Hasta cierto punto, sus conocimientos sobre los vientos y las corrientes les ayudaron a cruzar distancias cortas, por ejemplo en el Mediterráneo.

Pronto los navegantes se dieron cuenta de que los objetos celestes, especialmente las estrellas, pueden utilizarse para mantener el rumbo de un barco. Estas habilidades se han mencionado en la literatura antigua, como en la Odisea de Homero, que se cree que se remonta al siglo VIII a.C. Hay relatos de antiguos fenicios que pudieron incluso abandonar el Mediterráneo y se aventuraron en viajes a la costa británica e incluso a varios cientos de millas al sur a lo largo de la costa africana (Johnson y Nurminen, 2009). Autores y eruditos antiguos como Estrabón, Plinio y Diodoro de Sicilia han mencionado un viaje de larga distancia muy notable y bien documentado. Se trata del viaje de Piteas, astrónomo, geógrafo y explorador griego de Marsella que, hacia el año 300 a. C., aparentemente abandonó el Mediterráneo pasando por Gibraltar y continuó hacia el norte hasta las Islas Británicas y más allá del Círculo Polar Ártico, donde posiblemente llegó a Islandia o al Islas Feroe, a las que llamó Thule (Baker & Baker, 1997). Piteas utilizó un gnomon o reloj de sol, que le permitió determinar su latitud y medir el tiempo durante su viaje (Nansen, 1911).

Navegar por una latitud
En aquella época, la técnica de navegar por un paralelo (del ecuador) o latitud se basaba en la observación de estrellas circumpolares. Probablemente no se conocía el concepto de latitudes en el sentido de distancias angulares desde el ecuador. Sin embargo, pronto se descubrió que al mirar el cielo nocturno, algunas estrellas dentro de un cierto radio alrededor de los polos celestes nunca se ponían; Estas son estrellas circumpolares. Al navegar hacia el norte o hacia el sur, los navegantes observan que el polo celeste también cambia y con él el radio circumpolar. Por lo tanto, siempre que los navegantes ven la misma estrella culminando, es decir, transitando por el meridiano, a la misma elevación, permanecen en la "latitud". Para ellos fue suficiente comprender la relación entre la elevación de las estrellas y su trayectoria. Los navegantes tenían documentos de navegación que enumeraban los puertos marítimos junto con la elevación de las estrellas conocidas. Para llegar al puerto simplemente navegaban hacia el norte o el sur hasta alcanzar la latitud correspondiente y luego continuaban hacia el oeste o el este.

Hoy en día, la forma más sencilla de determinar la latitud de una persona en la Tierra es medir la elevación de la Estrella Polar, Polaris, como indicador del verdadero Polo Norte celeste. En nuestra era, Polaris está a menos de un grado de diferencia. Sin embargo, hace 1000 años estaba a 8° del polo.

El kamal
El kamal es una herramienta de navegación inventada por marineros árabes en el siglo IX d.C. (McGrail, 2001). Su finalidad es medir elevaciones estelares sin la noción de ángulos. Si estiras el brazo, un dedo subtiende un ángulo. Este método parece haber sido la primera técnica para determinar la elevación de las estrellas. En el mundo árabe, esta "altura" se llama isba (إصبع), que simplemente significa dedo. El ángulo correspondiente es 1°36' (Malhão Pereira, 2003).

Figura 7: Un kamal de madera sencillo. Consiste en un tablero topográfico y un cordón con una línea de nudos (Crédito: Bordwall https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_Wooden_Kamal_(Navigation).jpg, 'Simple Wooden Kamal (Navigation)', https: //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode).

Este método se estandarizó utilizando una placa de madera, originalmente de un tamaño aproximado de 5 cm x 2,5 cm, con un cordón atado a su centro. Cuando se sostiene a varias distancias, el kamal subtiende diferentes ángulos entre el horizonte y las estrellas (Figura 8). Los nudos situados en diferentes posiciones a lo largo del cordón indican las elevaciones de las estrellas y, en consecuencia, la latitud de varios puertos.

Figura 8: Ilustración de cómo se utilizó el kamal para medir la elevación de una estrella, en este caso, Polaris. El borde inferior estaba alineado con el horizonte. Luego, se modificó la distancia entre los ojos y el kamal hasta que el borde superior tocó la estrella. La distancia se establecía mediante nudos atados a la cuerda que se sujetaba entre la boca y el kamal. Los nudos indican las elevaciones de las estrellas (Crédito: M. Nielbock, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kamal_Polaris.png, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kamal_Polaris_Side.png, https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode).

Cuando Vasco da Gama se dispuso a encontrar el paso marítimo de Europa a la India en 1497, se detuvo en el puerto de Melinde (ahora Malindi), en África oriental, donde el jeque musulmán local le proporcionó un hábil navegante del Océano Índico para guiarlo. él a las costas de la India. Este navegante utilizó un kamal para encontrar las direcciones de navegación (Launer, 2009).

Dado que las latitudes que cruzaron los marineros árabes durante sus travesías por los mares de Arabia y de la India son bastante pequeñas, el tamaño mencionado del kamal es suficiente. Para latitudes más altas, la tabla debe ser más grande para que el cable no sea demasiado corto para realizar tales ángulos.

Figura 9: Extracto de un mapa mundial de 1502 que muestra el Océano Índico. Todas las rutas marítimas de la Península Arábiga y la India se encuentran entre el Trópico de Cáncer y el Ecuador. El puerto de Melinde está indicado en la tercera bandera desde lo alto de la costa oriental de África (Crédito: Cantino Planisferio, 1502, Biblioteca Estense Universitaria, Módena, Italia, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cantino_planisphere_( 1502).jpg, dominio público).

La geometría del kamal
Para medir un ángulo φ con un kamal de altura h, la distancia entre los ojos y el tablero sostenido perpendicularmente a la línea de visión necesaria es l. Esto se realiza mediante un nudo en la cuerda en el lado opuesto al tablero kamal. En esta configuración simple, obtenemos:

l = h' / tan⁡φ' = h / (2∙ tan⁡(φ/2) ) (Ecuación 6)

Figura 10: Geometría simplificada del kamal, que subtiende un ángulo φ entre el horizonte y Polaris. El kamal tiene una altura etiquetada como h. La longitud del cordón entre los ojos y el kamal está etiquetada con l (Crédito: M. Nielbock, trabajo propio).

Sin embargo, la longitud se mide con el cordón entre los dientes o justo delante de los labios. Los ojos y la boca están separados por la longitud d (Figura 11). La verdadera longitud de la cuerda es entonces l, mientras que l' es la distancia entre los ojos y la tabla kamal que define el ángulo φ. Este enfoque más realista conduce a la siguiente ecuación:

(Ecuación 7)

Vemos que para d=0, nuevamente obtenemos la versión simplificada anterior. La diferencia entre l y l' puede ser de unos pocos centímetros. Un valor realista es d=7 cm.

Esta geometría es lo suficientemente precisa para las incertidumbres inherentes al método de medición. Tenga en cuenta que siempre se supone que la tabla kamal se sostiene en un ángulo perpendicular a la línea de visión, no al cable. Además, se supone que el horizonte es el matemático (Figura 5). Esto significa que se desprecia la inclinación del horizonte visible.

Figura 11: Geometría más realista del kamal considerando la diferencia de distancia entre el kamal de un lado y la boca y los ojos del otro. La distancia entre la boca y los ojos está etiquetada como d (Crédito: M. Nielbock, trabajo propio).

Glosario
Movimiento aparente
Movimiento de los objetos celestes que, en realidad, es causado por la rotación de la Tierra.

Direcciones cardinales
Direcciones principales, es decir, norte, sur, oeste y este

Circumpolar
Propiedad de los objetos celestes que nunca se ponen debajo del horizonte.

Culminación
Pasando el meridiano de los objetos celestes. Estos objetos alcanzan allí su elevación más alta o más baja.

Diurno
Período causado por la rotación diaria de la Tierra alrededor de su eje.

Elevación
Distancia angular entre un objeto celeste y el horizonte.

Gran círculo
Un círculo en una esfera, cuyo radio es idéntico al radio de la esfera.

Meridiano
Línea que conecta el norte y el sur en el horizonte a través del cenit.

Altura del polo
Elevación de un polo celeste. Su valor es idéntico a la latitud del observador en la Tierra.

Coordenadas polares esféricas
El sistema de coordenadas naturales de un plano es cartesiano y mide distancias en dos direcciones perpendiculares (adelante, atrás, izquierda, derecha). Para una esfera, esto no es muy útil, porque no tiene ni principio ni fin. En cambio, el punto fijo es el centro de la esfera. Cuando se proyecta hacia afuera desde la posición central, cualquier punto de la superficie de la esfera puede estar determinado por dos ángulos, uno de ellos relacionado con el eje de simetría. Este eje define los dos polos. Además, está el radio que representa la tercera dimensión del espacio, que nos permite determinar cada punto dentro de una esfera. Esto define las coordenadas polares esféricas. Al definir puntos en la superficie de una esfera, el radio permanece constante.

Punto Zenith
en el cielo directamente arriba.