Eexperimentos con el gnomon
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- Category: Historia de la Marina Civil
- Published on Thursday, 11 April 2024 22:25
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Este es el obelisco de Luxor en la Plaza de la Concordia en París. En realidad, la fecha era el 11 de abril de 2008, no 2006.
Antecedentes sobre la esfera celeste y el gnomon
Como la Tierra gira sobre su eje una vez al día, el Sol, la Luna y las estrellas parecen moverse con respecto a nuestro horizonte local. Aquí vemos la esfera celeste:
Agradezco a Jim Kaler por el uso de este diagrama. Se puede obtener más información desde su sitio web haciendo clic aquí.
La estrella polar (Polaris) está muy cerca de la dirección del Polo Norte Celeste (NCP). El NCP está en un ángulo sobre el horizonte igual a su latitud (PHI). Si estás en Hawái, el NCP está aproximadamente a 20 grados sobre el horizonte. Si se encuentra en el extremo norte de Alaska, el NCP podría estar a 65 grados sobre el horizonte.
A medio camino entre el polo norte celeste y el polo sur celeste se encuentra el ecuador celeste . Es una proyección del ecuador terrestre de la Tierra hacia la esfera celeste. El número de grados en que un objeto celeste se encuentra al norte o al sur del ecuador celeste es su declinación (DEC).
El meridiano celeste divide el cielo en su mitad oriental y su mitad occidental. Un objeto celeste alcanza su ángulo máximo de elevación (h) sobre el horizonte cuando se encuentra en el meridiano celeste. (En realidad, las estrellas circumpolares, que no se ponen debajo del horizonte, tienen una culminación superior y una culminación inferior). Un objeto en el ecuador celeste transita por el meridiano celeste con un ángulo de elevación sobre el horizonte igual a 90 - PHI. En latitudes situadas más al norte que 23,45 grados, el Sol siempre transita al sur del cenit . Generalmente, dada la declinación del Sol (DEC), éste transita por el meridiano celeste en un ángulo de elevación.
h_max = (90 - PHI) + DEC
grados sobre el horizonte, y toma la trayectoria aparente en el cielo indicada por la línea roja en el diagrama de arriba.
El gnomon es probablemente el instrumento de medición astronómico más antiguo. Si bien la palabra se usa en varios contextos , aquí simplemente nos referimos a un palo vertical con una punta razonablemente afilada. Utilicé una varilla de madera de 3/8 de pulgada afilada con un sacapuntas y la mantuve vertical con un largo de un pie de dos por cuatro con un orificio vertical perforado. Decidí que la punta del gnomon no debería ser demasiado afilada.
Las observaciones astronómicas útiles deben tener marcas de tiempo asociadas precisas. Los astrónomos prefieren la hora media de Greenwich. El GMT al mediodía le da una pista bastante buena sobre en qué zona horaria vive. La hora estándar central en los EE. UU. está seis horas por detrás de GMT, lo que significa que el mediodía local ocurre aproximadamente a las 18 horas GMT. Otra forma de decir esto es que la zona horaria central está aproximadamente a 6 * 15 = 90 grados al oeste de Greenwich, Inglaterra.
Dado que el tamaño angular del Sol es de aproximadamente 0,5 grados, el gnomon no proyecta una sombra perfectamente nítida. Así, uno de los trucos consiste en decidir exactamente qué corresponde al "final de la sombra del palo".
El mediodía aparente ocurre cuando el Sol está más alto en el cielo; en otras palabras, cuando la sombra del palo vertical es más corta.
La latitud de uno se puede determinar tomando una serie de medidas de la longitud de la sombra de un palo vertical. Es mejor medir la longitud de la sombra desde, digamos, 100 minutos antes del mediodía aparente local hasta 100 minutos después del mediodía aparente local. Dependiendo de dónde esté situado uno (este-oeste) en una zona horaria particular y dependiendo del día del año que sea, el mediodía aparente puede ocurrir muchos, muchos minutos desde el mediodía, hora estándar o la 1 p.m., hora de verano . Consideremos dos observadores situados en la misma zona horaria pero separados por un grado de longitud. Si el observador más oriental observa que el Sol transita por el meridiano celeste a, digamos, las 12:05 p. m., el observador que se encuentra un grado de longitud hacia el oeste observará que el Sol transita por el meridiano a las 12:09 p. m. Pero aquí nos estamos adelantando un poco en la historia.
Una consideración final
Imagina que eres una hormiga con gafas de sol caminando en la cartulina mientras alguien está haciendo su experimento con gnomon. Si estás en el cartel en un lugar para mirar hacia el Sol y ver la punta del gnomon exactamente alineada en el centro del Sol, ¿estás en la sombra umbral ? No. Todavía puedes ver la mitad superior del Sol. Entonces, ¿cuál es la longitud de la sombra umbral y la altura del gnomon que nos dan el ángulo de elevación del extremo superior del Sol? Por lo tanto, para obtener el valor más preciso de la latitud, debemos sumar el radio del Sol. Esto promedia 16 minutos de arco.
Determinación de la latitud y longitud en South Bend, Indiana
En el siguiente diagrama mostramos la posición del final de la sombra de nuestro gnomon, medida en South Bend, Indiana, el 3 de septiembre de 2006. Mi ubicación estaba en la fuente justo al norte del Nieuwland Science Hall de la Universidad de Notre Dame. .
En el gráfico, la dirección +Y es hacia el norte. Observe la forma ligeramente convexa del conjunto de puntos verdes.
Aquí trazamos la longitud de la sombra frente al tiempo desde la 1:35 p. m., hora del este. Usando un ajuste parabólico a los puntos de datos, descubrí que la desviación promedio de una parábola era de aproximadamente 1 milímetro. Ciertamente ayudó haber colocado el gnomon en una superficie bien plana y nivelada . Yo recomendaría colocar un trozo grande de papel, pegarlo con cinta adhesiva y pegar con cinta adhesiva el soporte del gnomon al papel, para que nada se pueda mover en el transcurso de las 3 o 4 horas que se toman las medidas. Si la superficie nivelada es algo rugosa, entonces, en lugar de papel, es mejor utilizar una hoja grande de cartón en blanco. Quizás se pregunte por qué hay lagunas en los datos. Algunas veces el Sol estaba cubierto de nubes.
Del Almanaque Astronómico determiné las coordenadas del Sol el 3 de septiembre de 2006, a las 17,7 horas GMT. La ascensión recta del Sol fue RA = 10 horas 50 minutos 16,90 segundos. La declinación del Sol fue DEC = +7 grados 24' 33" = +7,4092 grados.
Así como la declinación es el análogo celeste de la latitud en la Tierra, la ascensión recta es el análogo de la longitud. La AR de un objeto celeste es el número de horas, minutos y segundos que un objeto se encuentra al este del equinoccio de primavera . El equinoccio de primavera es la posición del Sol en el primer momento de la primavera (norte) (alrededor del 20 de marzo). Quizás conozcas el equinoccio de primavera en el siguiente contexto. El meteorólogo de la televisión podría decir: "El equinoccio de primavera ocurrirá mañana a tal o cual hora". Se puede considerar el equinoccio de primavera como un momento en el tiempo o como una posición en la esfera celeste.
Puede obtener una lista de la ascensión recta y declinación del Sol para cada día del presente año haciendo clic aquí.
Ahora tenemos que hacer algo de trigonometría simple. La tangente del ángulo de elevación sobre el horizonte es igual a la altura del gnomon (g) dividida por la longitud mínima de la sombra (L_min). En otras palabras:
tan(h_max) = g / L_min = 635/431,3.
Usando una calculadora se deduce que h_max = 55,8152 grados, y
PHI = (90 - 55,8152) + 7,4092 = 41,5940 grados. (Hasta ahora esto ignora la corrección para el semidiámetro del Sol).
Esto es lo mismo que 41 grados 35,6 minutos. De una incertidumbre de +/- 1 mm para la altura del gnomon y +/- 0,95 mm para la incertidumbre de L_min, se deduce que la incertidumbre de nuestra latitud es de aproximadamente 0,05 grados = 3,0 millas náuticas. (1 milla náutica = 1852 metros = 1,151 millas terrestres).
El radio del Sol en esta fecha era de 15,9 minutos de arco, por lo que nuestro valor final para la latitud es 41 grados 35,6' + 15,9 = 41 grados 51,5'.
Para determinar la longitud observamos que existe una diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio . La diferencia numérica se llama ecuación del tiempo . Se produce como resultado de la inclinación del eje de rotación de la Tierra con respecto al plano de su órbita (la oblicuidad de la eclíptica ) y la elipticidad de la órbita de la Tierra. Para obtener más información sobre la ecuación del tiempo haga clic aquí.
XXX Para obtener una tabla de la ecuación de tiempo versus número de día del año, haga clic aquí.
La hora de nuestro reloj es la hora solar media en alguna longitud de referencia. Para la hora del este, esa longitud de referencia es 75 grados al oeste de Greenwich. Para la hora central, la longitud de referencia es 90 grados al oeste de Greenwich.
Del Almanaque Astronómico determiné que la ecuación del tiempo el 3 de septiembre de 2006 era +51 segundos. Por lo tanto, el Sol medio ficticio transitó por el meridiano a las 1:42:31 + 00:00:51 = 1:43:22 EDT = 12:43:22 hora estándar del este.
South Bend, Indiana, se encuentra en la zona horaria del este (5 horas detrás de Greenwich). Por lo tanto, las observaciones implican que la latitud derivada en nuestra ubicación en South Bend, Indiana, era 5 horas 43 min 22 segundos al oeste de Greenwich. Dado que 1 hora de tiempo corresponde a 15 grados de longitud, nuestra longitud derivada es 5 + 43/60 + 22/3600 = 5,722778 horas * 15 grados/h = 85,8417 grados = 85 grados 50,5'. Dada la incertidumbre de nuestro tiempo de tránsito derivado, la incertidumbre de nuestra longitud derivada es +/- 8,8'.
De un mapa de South Bend deduje que mi verdadera latitud era PHI = +41 grados 42,05', y mi verdadera longitud = W 86 grados 14,2'. Los errores sistemáticos de mis mediciones son los siguientes:
error de latitud sistemático = 41 grados 51,5' - 41 grados 42,05' = +9,45'
error de latitud sistemático = 85 grados 50,5' - 86 grados 14,2' = -23,7'
Podemos compararlos con nuestros errores aleatorios de +/- 3,0' para latitud y +/- 8,8' para longitud, que provienen de la dispersión de nuestras mediciones de sombras. La relación entre error sistemático y error aleatorio es una medida de la solidez de los datos. En este caso |+9,45/3,0| ~ 3,2 para latitud y |-23,7/8,8| ~ 2,7 para longitud. Si estas dos proporciones fueran cercanas a 1,0, implicaría que no tenemos errores sistemáticos significativos y que el experimento difícilmente podría mejorarse utilizando el mismo equipo. El hecho de que estos números estén entre aproximadamente 3,0 significa que hay una probabilidad del 1 por ciento de que los valores observados difieran de los valores "verdaderos" sólo por casualidad. Si el error sistemático fuera, digamos, 20 veces el error aleatorio, eso sería una indicación de que los datos están afectados por errores sistemáticos graves.
Dado que las líneas de longitud convergen en los polos geográficos de la Tierra, para determinar el error lineal de longitud, debemos multiplicar el error de longitud en unidades angulares por el coseno de la latitud. Por lo tanto, nuestro error este-oeste desde la posición real fue -23,7 * coseno (PHI) = -23,7 * 0,7466 = -17,7 millas náuticas. Nuestro error posicional total es SQRT (6,45 * 6,45 + 17,7 * 17,7) = 18,8 millas náuticas.
Ubicamos nuestra posición en la Tierra dentro de las 19 millas náuticas usando una breve lista de cosas simples: un palo vertical, el Almanaque Astronómico, un reloj, una fuente de la hora media de Greenwich, una hoja grande de papel (o cartón), cinta adhesiva. , un lápiz y una cinta métrica calibrada en milímetros (o una regla métrica).
Determinar la latitud y longitud en College Station, Texas - Parte 1
El 12 de noviembre de 2006, hice un conjunto similar de mediciones de sombras de la fuente justo al sur del Edificio de Ingeniería Zachary en la Universidad Texas A & M. Me han dicho que esta fuente nunca se enciende. Aunque la superficie es bastante rugosa, parece bonita y nivelada. Debido a la aspereza, extendí un trozo grande de cartón, lo pegué a la piedra con cinta adhesiva y luego pegué con cinta adhesiva el soporte del gnomon al cartón mientras duraban las mediciones de la sombra.
Aquí hay un gráfico XY de las posiciones de las sombras. Tenga en cuenta la naturaleza cóncava de la serie de puntos verdes. Esto se debe a que el Sol estaba a más de 17 grados al sur del ecuador celeste.
La duración de la sombra versus el tiempo desde el mediodía se muestra a continuación:
Para las mediciones de College Station no necesito describir cada paso con palabras como lo hice anteriormente. Sólo daré algunos de los números básicos.
Del Almanaque Astronómico las coordenadas del Sol fueron: RA = 15 h 11 m 5,2 s; DEC = -17 grados 47' 56,4" = -17,7990 grados.
Ecuación del tiempo = 15 min 46,5 seg.
Semidiámetro del Sol = 16,2 minutos de arco.
bronceado(h_max) = 633/704,99; h_max = 41,9201 grados.
latitud PHI = 90 - h_max + DEC_Sun = 90 - 41.9201 - 17.7990 = 30.2809 grados = 30 grados 16.9'. Sumando el semidiámetro del Sol da un valor de latitud final de 30 grados 33,1 '. Dada la incertidumbre de +/- 1 mm para la altura del gnomon y +/- 1,33 mm para la longitud mínima de la sombra, la incertidumbre correspondiente de la latitud derivada es +/- 4,7' = 4,7 millas náuticas.
El Sol medio ficticio transitó por el meridiano celeste a las 12:07:02,5 + 00:15:46,5 = 12:22:49,0 CST. Por lo tanto, nuestra ubicación se midió en 22 m 49 s de longitud al oeste del meridiano de 6 horas. 6 + 22/60 + 49/3600 = 6,38028 horas * 15 grados/h = 95,7042 grados = 95 grados 42,25'. De la incertidumbre de +/- 38,2 segundos en el tiempo de tránsito del Sol aparente, el error aleatorio de la longitud es 9,54'.
Desde Google Earth determinamos que nuestra verdadera latitud era +30 grados 37' 14,8". Llámala 30 grados 37,2'. Y la verdadera longitud era W 96 grados 20' 26,3". Llámelo 96 grados 20,44 '.
Error sistemático en latitud = 30 d 33,1' - 30 d 37,2 = -4,1'
Relación entre error sistemático y error aleatorio para latitud = |-4,1/4,7| = 0,9
Error sistemático en longitud = 95 d 42,25 - 96 d 20,44' = -38,2' de longitud.
Relación entre el error sistemático y el error aleatorio para la longitud = |-38,2/9,54| = 4,0.
Error sistemático lineal en longitud = -38,2 * coseno (PHI) = -38,2 * 0,8606 = -32,9 millas náuticas.
Error de distancia total = SQRT (4,1 * 4,1 + 32,9 * 32,9) = 33,2 millas náuticas. Nuestro valor de latitud difícilmente podría mejorarse con este equipo, ya que el error sistemático es comparable al error aleatorio. Para la longitud, la proporción fue 4, lo que significa que probablemente podríamos obtener mejores resultados si lo intentáramos de nuevo. Algunas de las posibles formas de mejorar las mediciones se enumeran a continuación.
Una predicción para el primer día de primavera/otoño
Se puede demostrar que cuando la declinación del Sol es 0 (el momento del equinoccio de primavera o del equinoccio de otoño), el final de la sombra del gnomon trazará un camino de este a oeste en el terreno llano. No será convexo como en el gráfico XY de South Bend el 3 de septiembre que se muestra arriba, ni cóncavo como en el gráfico XY de College Station el 12 de noviembre que también se muestra arriba. La coordenada del eje Y será igual a la altura del gnomon multiplicada por la tangente de la latitud. Aquí mostramos una predicción para la sombra de un gnomon el primer día de primavera o el primer día de otoño.
Los datos reales del segundo día del otoño de 2007 (ver más abajo) casi coinciden con esta predicción.
Determinar la latitud y longitud en College Station, Texas - Parte 2
El 24 de septiembre de 2007, realicé otra serie de mediciones de sombras desde el mismo lugar en la Universidad Texas A & M. Como esto ocurrió un día después del comienzo del otoño, la declinación del Sol era muy cercana a cero. Cuando es exactamente cero (el primer día de primavera y el primer día de otoño), los puntos de sombra deben estar a lo largo de una línea recta en el suelo.
Aquí hay un gráfico XY de las posiciones de las sombras. Con cierta dispersión, los puntos se encuentran a lo largo de una línea este-oeste.
La duración de la sombra versus el tiempo desde el mediodía se muestra a continuación. La altura del gnomon fue de 632 mm, con una incertidumbre de +/- 1 mm.
En esta fecha las coordenadas del Sol eran: RA = 12 h 4 m 48 s; DEC = -0 grados 31' 19" = -0,5219 grados.
Ecuación de tiempo = 8 min 8 seg.
Semidiámetro del Sol = 15,9'.
bronceado(h_max) = 632/379,8; h_max = 58,9963 grados.
latitud PHI = 90 - h_max + DEC_Sun = 90 - 58,9963 - 0,5219 = 30,4818 grados = 30 grados 28,9'. Sumando el semidiámetro del Sol da un valor de latitud final de 30 grados 44,8 '. Dada la incertidumbre de +/- 1 mm para la altura del gnomon y +/- 1,84 mm para la longitud mínima de la sombra, la incertidumbre correspondiente de la latitud derivada es +/- 7,7' = 7,7 millas náuticas.
El Sol medio ficticio transitó por el meridiano celeste a las 13:19:38 + 00:08:08 = 13:27:46 CDT. Por lo tanto, nuestra ubicación se midió a 27 m 46 s al oeste del meridiano de 6 horas. 6 + 27/60 + 46/3600 = 6,38028 horas * 15 grados/h = 96,9417 grados = 96 grados 56,5'.
[Nota sobre el valor derivado del tiempo de tránsito: la gráfica de la longitud de la sombra versus el número de minutos desde el mediodía CDT se ajustó con una parábola de mínimos cuadrados. Los coeficientes de ese ajuste nos permiten derivar la longitud de la sombra mínima y el tiempo correspondiente. Esa hora eran las 13:20:05 CDT. Pero esto no utiliza toda la información disponible para nosotros. Como el gnomon estaba pegado al cartón y el cartón al cemento, podemos derivar las coordenadas XY de los puntos. Marqué el tiempo de tránsito nominal en el cartón y medí las coordenadas X nominales de los puntos. Las coordenadas Y de los puntos se pueden obtener utilizando el teorema de Pitágoras. Y^2 = L^2 - X^2. Una gráfica de Y vs. X debería ser una línea recta de pendiente cero tan cerca del equinoccio de otoño. Luego agregué [-4, -2, +2 y +4] mm a las coordenadas X y volví a derivar los valores Y. En realidad, se trataba de probar diferentes tiempos de tránsito. Un gráfico de las pendientes de los ajustes lineales frente a esos desplazamientos me permitió determinar el desplazamiento que proporciona el ajuste más horizontal de Y frente a X. Se obtuvo moviendo la línea de tránsito 1,46 mm en sentido antihorario en un radio igual a la sombra mínima. longitud. Esto correspondió a hacer el tiempo de tránsito 27 segundos antes, o 13:19:38.]
Desde Google Earth determinamos que nuestra latitud verdadera era +30 grados 37' 14,8" ~ 30 grados 37,2'. La longitud verdadera era W 96 grados 20' 26,3" ~ 96 grados 20,44'.
Error sistemático en latitud = 30 d 44,8' - 30 d 37,2 = +7,6'
Relación entre error sistemático y error aleatorio para latitud = |7,6/7,7| ~ 1.0
Error sistemático en longitud = 96 d 56,5' - 96 d 20,44' = +36,1' de longitud.
Nuestras dos determinaciones de latitud dieron una media no ponderada de 30 grados 39,0' +/- 5,9'. El verdadero valor de la latitud es 30 grados 37,2 '. Nuestro error sistemático fue 1,8' = 1,8 millas náuticas. El error aleatorio fue de +/- 5,9 millas náuticas. Nuestras dos mediciones de longitud dan un valor medio no ponderado de 96 grados 19,4' oeste (con una incertidumbre de +/- 37,1' de longitud). Nuestro valor medio está notablemente cerca del valor real de 96 grados 20,4'. El error sistemático es de sólo 1 minuto de arco de longitud, lo que corresponde a sólo 4 segundos de tiempo. El error aleatorio de nuestro valor medio de longitud tiene una incertidumbre de 37,1 minutos de arco, lo que corresponde a 2 minutos 28 segundos de tiempo.
Tomada al pie de la letra, nuestra latitud media tenía un error sistemático de sólo 1,8 millas náuticas al norte de la ubicación real. Esto fue más preciso de lo que pensé que se podría lograr con un equipo tan tosco.
Nuestro valor de longitud media esencialmente no tuvo ningún error sistemático , pero el error aleatorio de la longitud fue mucho mayor que el error aleatorio de la latitud. El error aleatorio lineal de longitud fue +/- 37,1 veces cos(PHI) = +/- 32,0 millas náuticas. El error aleatorio de latitud fue de +/- 6,0 millas náuticas. La proporción de esos errores aleatorios es 5,3. Por tanto, la elipse de error está muy alargada en la dirección longitudinal.
La búsqueda de una longitud exacta en el mar fue uno de los mayores desafíos técnicos del siglo XVIII. El gobierno británico ofreció un premio sustancial a quien pudiera determinar la longitud en 1 minuto de tiempo (o 1/4 de grado). Este problema fue finalmente resuelto por el fabricante de cronómetros John Harrison (1693-1776). Para obtener más información, haga clic aquí.
Determinar la latitud y longitud en College Station, Texas - Parte 3
Se sugirió que para sortear la naturaleza borrosa de la sombra umbral de un palo puntiagudo (ver arriba) modelemos una pequeña esfera al final del gnomon, de la siguiente manera:
La sombra de la pelota será una elipse, y el centro de la elipse podría ser más fácil de marcar que el final de la sombra más oscura de un palo puntiagudo.
El 20 de junio de 2010 y el 21 de junio de 2010 realizamos dos experimentos con gnomon en Texas A&M. Esto fue para medir el ángulo de elevación máximo que el Sol puede alcanzar durante todo el año. El solsticio de verano ocurrió a las 6:28 a.m. PDT del día 21. El 21 de junio se envió a los estudiantes a realizar las mediciones entre las 12:15 y las 13:25. Aquí están las medidas de longitud de las sombras el 21 de junio.
Hemos ajustado los datos del 21 de junio con una hipérbola de la forma: y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1, con a = 32,033 y b = 83,59.
La siguiente figura muestra las posiciones XY del final de la sombra del gnomon el primer día de invierno (arriba), el día después del equinoccio de otoño (centro) y el primer día de verano (abajo). Para los loci medio e inferior, la altura del gnomon fue de 632 mm. Para el lugar superior he escalado los datos XY en 632/550, ya que la altura del gnomon era de 550 mm y quiero mostrar lo que se habría observado si hubiéramos usado un gnomon de 632 mm de alto para los tres conjuntos de datos. Observe cómo la curvatura es hacia arriba si la declinación del Sol es negativa, hay una línea recta que la cruza para el equinoccio de otoño y la curvatura es hacia abajo para una declinación positiva.
De hecho, podemos hacer algunos cálculos esféricos simples para derivar la declinación del Sol a partir de estas observaciones sin ninguna referencia al Almanaque Astronómico.
cos(DEC) = - sin(AZ) * cos(h)/sin(t),
donde AZ es el acimut del Sol, h es el ángulo de elevación y t es el ángulo horario. A partir del momento de la longitud mínima de la sombra podemos obtener los valores del ángulo horario. Esa es solo la cantidad de minutos antes o después del mediodía local aparente. Con la altura del gnomon g y las longitudes de las sombras obtenemos el ángulo de elevación. Podemos medir los valores X de los extremos de la sombra del gnomon más fácilmente que los valores Y. Con las longitudes totales de las sombras, los valores de X y el teorema de Pitágoras obtenemos las Y. Un código informático simple nos proporciona los acimutes.
Los datos del 21 de diciembre de 2010 dan -23 grados 41,1 +/- 9,5 min como la declinación del Sol según dicho análisis. Los datos del 21 de junio de 2010 dan DEC = +23 grados 56,8+/- 7,2 min. Por tanto, la oblicuidad de la eclíptica a partir de los datos de estas dos fechas es 23 grados 49,0 +/- 7,8 min. Usamos sólo puntos a una hora o más del meridiano. No deseas un valor numérico pequeño de sin(t) en el denominador.
Utilizando los datos del 21 de junio y 21 de diciembre, existe un ángulo máximo de elevación del Sol para cada fecha, observado desde el mismo sitio. Llámelos h_max (21 de junio) y h_max (21 de diciembre). Es fácil demostrar que
latitud = phi = 90 - [h_max(21 de junio) + h_max(21 de diciembre)]/2
y
oblicuidad de la eclíptica = épsilon = [h_max(21 de junio) - h_max(21 de diciembre)]/2
Los datos sobre el meridiano del 21 de junio y el 21 de diciembre dieron 23 grados 0,9 +/- 5,0 min para la oblicuidad. El promedio de este resultado y el resultado dado anteriormente de la derivación de la declinación del Sol de 1 a 2 horas a cada lado del meridiano es 23 grados 25 min, lo que coincide casi exactamente con la respuesta correcta de las observaciones más precisas (es decir, 23 grados 26,2 mín.). Es cierto que la incertidumbre de nuestro valor de épsilon es de aproximadamente +/- 0,4 grados.
Para obtener una tarea que contenga los datos sin procesar del 21 de junio de 2010 y del 21 de diciembre de 2010, haga clic aquí . En el último conjunto de datos hay un error de transcripción intencional. La longitud correcta de la sombra a las 12:15:00 CST era 754,5, no 734,5 mm. Esto se implementó para que los estudiantes pudieran juzgar la calidad de los datos de sus gráficos y contemplar "valores atípicos". En esta tarea uno puede derivar la latitud de College Station, Texas, y la oblicuidad de la eclíptica sin utilizar ninguna declinación solar del Almanaque Astronómico.
Determinar la latitud y longitud de la Isla de Pascua
La Isla de Pascua se encuentra aproximadamente a medio camino entre Santiago de Chile y Tahití. Si bien es parte de la Polinesia, forma parte de la República de Chile desde el 9 de septiembre de 1888. Para más información haga clic aquí.
Estuve en la Isla de Pascua en diciembre de 2006 y allí también realicé el experimento del gnomon. Sabía que el Sol pasaría al norte del cenit al mediodía local y que pasaría aproximadamente a 3 1/2 grados del cenit. Lo primero que había que hacer era determinar la hora aproximada del mediodía local. Eso ocurrió alrededor de las 2:15 p.m., que son las 19:15, hora media de Greenwich. Esto me dijo dos cosas: 1) La Isla de Pascua tiene un reloj algo artificial. En realidad, la hora del reloj debería adelantarse unas dos horas. Sospecho que por razones económicas con Chile continental mantienen la hora de Isla de Pascua intencionalmente más cerca de la hora de Santiago. 2) La Isla de Pascua está aproximadamente a 7 1/4 horas (109 grados) al oeste del meridiano de Greenwich.
El siguiente gráfico muestra un diagrama XY de la posición de la punta del gnomon durante un período de 3 horas y 46 minutos el 18 de diciembre de 2006. Debido a que el Sol estuvo tan cerca del cenit, la posición de la punta del gnomon en realidad era dentro de la sombra del cilindro del palo. Los puntos verdes son puntos donde se puede ver la sombra del punto gnomon. Los triángulos azules y los cuadrados cian corresponden a momentos en que la sombra del punto estaba dentro de la sombra del cilindro del palo. Los cuadrados cian corresponden a momentos en que el final de la sombra estaba en el bloque que sostiene el gnomon. Al mirar el gnomon hacia el final de la sombra del cilindro, se puede estimar la ubicación de la punta del gnomon dentro de la sombra del cilindro. El bloque tiene 37 milímetros de altura. He escalado las coordenadas XY de los cuadrados cian en (636/599) para tener en cuenta esto. Es decir que todos los puntos del gráfico corresponden a la posición del punto del gnomon en el suelo, con una altura del gnomon de 636 mm. Observe el poco espacio que ocupa este conjunto de datos en comparación con los conjuntos de datos que se muestran arriba para latitudes medias del norte. Como en los otros gráficos XY anteriores, el norte está hacia arriba y el oeste hacia la izquierda.
La duración de la sombra frente al tiempo desde las 19 horas GMT se muestra a continuación:
Está claro que los puntos no pueden encajar en una parábola. En cambio, he ajustado un polinómico de cuarto orden a través de los 11 puntos centrados en el mediodía local. Obtengo una longitud mínima de sombra de 43,1 +/- 1,3 mm.
Por si alguien está confundido, mi gnomon se desprende del bloque que lo sostiene. Por lo tanto, no debería sorprendernos que diferentes experimentos tengan valores ligeramente diferentes para la altura del gnomon.
Según el Almanaque Astronómico, las coordenadas del Sol a la hora del mediodía local en la Isla de Pascua del 18 de diciembre de 2006 eran: RA = 17 h 45 m 43,6 s; DEC = -23 grados 23' 58,9" = -23,3997 grados.
Ecuación del tiempo = 3 min 3,9 seg.
Semidiámetro del Sol = 16,3'.
El ángulo máximo de elevación del extremo superior del Sol fue:
h_max = arctan [ (636 +/- 1) / (43,1 +/- 1,3) ] = 86,1231 (+0,1134, -0,1208) grados.
Las cosas se vuelven un poco complicadas para seguir los signos menos aquí, ya que las observaciones se realizaron en el hemisferio sur en una latitud más al sur que la DEC del Sol. La latitud PHI = - (90 - 86.1231) - 23.3997 = -27.2766 grados = -27 grados 16.6'. El Sol estaba al norte del cenit y el final de la sombra umbral corresponde al extremo superior del Sol. Obtenemos nuestro valor de latitud final ajustando la ubicación más lejos del ecuador, por lo que debemos restar el semidiámetro del Sol para este experimento realizado en el hemisferio sur. El valor de latitud final es -27 grados 16,6' - 16,3' = -27 grados 32,9' Dada la incertidumbre de la altura del gnomon y la longitud mínima de la sombra, la incertidumbre de la latitud es +/- 7,0' = +/ - 7,0 millas náuticas.
Para determinar el mejor valor para la hora del mediodía local (cuando el Sol transita por el meridiano celeste), utilicé los 9 puntos de datos finales y determiné a qué hora antes del mediodía local la sombra tenía la misma longitud. Por lo tanto, hice una interpolación de la longitud de las sombras previas al mediodía. El tiempo medio de tránsito obtenido fue las 19:14:08 GMT, con una pequeña incertidumbre de +/- 7 segundos. Dada la ecuación del tiempo, el Sol medio ficticio transitó 3 minutos y 3,9 segundos más tarde que las 19:14:08 GMT, o 19:17:11,9. Por lo tanto, mi ubicación en la Isla de Pascua estaba a 17 minutos y 11,9 segundos (4.300 grados) al oeste del meridiano de 7 horas (105 grados Oeste). Mi valor de longitud en la Isla de Pascua es entonces 109,300 grados = 109 grados 18,0 '.
Desde Google Earth se determinó que la verdadera ubicación donde se llevó a cabo mi experimento fue PHI = -27 grados 09,6', longitud = 109 grados 26,5'. (Estos deberían verificarse dos veces, ya que un mapa web diferente dio una longitud de casi 1' diferente.) Por ahora, mis errores sistemáticos son: latitud: |32.9 - 9.6| = 7,0', que es 3,3 veces el error aleatorio. Esto significa que podríamos esperar mejorar el experimento si lo volviéramos a realizar con el mismo equipo. Pero considerando lo cerca que estuvo el Sol del cenit, creo que lo hicimos bastante bien.
Error sistemático en longitud = |18,0 - 26,5| = 8,5'
8,5 * cos(PHI) = 7,55. Mi error lineal fue sqrt (7,55*7,55 + 23,3 * 23,3) = 24,5 millas náuticas.
¿Qué tan bien les fue a los estudiantes universitarios en este experimento?
En el otoño de 2007 entregué este proyecto a mis alumnos de Astronomía Básica en Texas A&M. Los estudiantes entregaron 53 proyectos. Incluso después de corregir toda su aritmética, hubo una serie de valores atípicos. El valor de un proyecto estaba varios grados por debajo. Otros cuatro estaban a más de 2,5 grados de diferencia. Para 48 valores, el error sistemático medio fue -2,5 +/- 8,7' (error medio de la media). El error sistemático medio fue -8,8'. Para el siguiente gráfico adopté un radio solar medio de 16,1 minutos de arco, ya que los proyectos se llevaron a cabo en octubre y noviembre de 2007, cuando ese era el radio angular medio del Sol. Creo que esta es una demostración notable del método y el poder de la estadística.
¿Cómo podrían los datos haber sido más precisos?
1) Utilice un nivel para asegurarse de que la superficie donde se toman los datos esté, de hecho, nivelada.
2) Utilice una plomada para asegurarse de que el gnomon esté lo más vertical posible. De hecho, hice esto para las mediciones de College Station, pero no lo dije anteriormente.
3) Utilice un gnomon metálico demostrablemente recto . Mi varilla de 3/8 de pulgada está ligeramente curvada. La madera se deforma con el tiempo y también cambia de tamaño. Una vez que los astrónomos del siglo XVI, como Tycho Brahe, comenzaron a utilizar instrumentos metálicos, obtuvieron medidas mucho más precisas de las posiciones del Sol, la Luna y las estrellas.
4) Determinar una mejor manera de decidir dónde termina el final de la parte oscura ( umbra ) de la sombra del gnomon. Al igual que la sombra de la Tierra dirigida a la Luna llena el día de un eclipse lunar, hay una sombra oscura y una semisombra (la penumbra ) del gnomon.
5) El aire en la atmósfera terrestre refracta la luz, lo que hace que los objetos celestes parezcan más altos en el cielo. En el horizonte, al nivel del mar, esto equivale a unos 35 minutos de arco, o casi 0,6 grados. Por lo tanto, si el borde inferior del Sol "apenas toca" el horizonte, el Sol en realidad está completamente debajo del horizonte. Lo que estás viendo es sólo la imagen del Sol, refractada alrededor del "borde" de la Tierra, por así decirlo.
Más arriba en el cielo, la corrección de refracción es aproximadamente igual a 60,6 segundos de arco (aproximadamente 1,0 minuto de arco) multiplicado por la cotangente del ángulo de elevación aparente sobre el horizonte. Para nuestras observaciones de South Bend, el Sol verdadero estaba en realidad 0,7' más bajo en el cielo, lo que implica que nuestra latitud estaba 0,7' más al norte, o 41 grados 52,2'. Por lo tanto, nuestro error sistemático en latitud aumenta ligeramente a 10,45 millas náuticas. Para College Station el 12/11/2006 la corrección de refracción fue de 1,1', lo que nos dio una latitud corregida de 30 grados 34,2', reduciendo nuestro error sistemático de -4,1 a -3,0 millas náuticas.
Determinando la circunferencia de la Tierra.
Llevé un registro del kilometraje de mi automóvil desde South Bend hasta College Station y llevé un registro del kilometraje de algunos viajes cortos a lo largo del camino. A lo largo de la ruta que tomé, el kilometraje desde un sitio de las mediciones de sombra al otro fue de 1248,8 millas terrestres. Pero no recorrí una ruta circular de un lugar a otro.
La distancia más corta entre dos puntos de la superficie de una esfera es la ruta del círculo máximo . Si pasa un avión por el centro de la esfera y por los dos puntos, eso delineará la ruta más corta a lo largo de la superficie de la esfera . Por eso, cuando vuelas de San Francisco a Japón, vuelas muy al norte. Parece que te estás desviando de tu camino, pero no es así.
A partir de mi Rand McNally Road Atlas, estimo que una "línea recta" desde Nieuwland Science Hall en el campus de Notre Dame hasta el edificio de ingeniería Zachary en Texas A & M era el 81 por ciento del kilometraje de mi odómetro, o 1011,5 millas.
Dadas las latitudes y longitudes derivadas de los dos sitios, calculo que estaban separados por 14,034 grados a lo largo de una ruta de círculo máximo. Por tanto, una estimación de la circunferencia de la Tierra (C) a partir de estas mediciones es:
C = 360/14,034 * 1011,5 = 25.947 millas terrestres.
El valor real es 24,901 millas. Por lo tanto, nuestro valor derivado es aproximadamente un 4,2 por ciento demasiado grande. Gran parte del error sistemático se debe a este factor del 81 por ciento para corregir el kilometraje de mi odómetro al kilometraje "directo". Puedes creer que la ruta real que conduje era más garabateada de lo que puede mostrar la resolución del mapa en el atlas de carreteras. Por tanto, el factor de 0,81 es probablemente un límite superior. Habríamos obtenido el valor "correcto" de la circunferencia de la Tierra si nuestro factor de corrección hubiera sido 0,777.
Una pregunta relacionada que podría hacerse es la siguiente: ¿cómo sabemos que mi odómetro no tiene ningún error de escala sistemático propio? De hecho, mientras conducía por la Interestatal 55 en Illinois, noté que 98 millas según los marcadores de millas eran lo mismo que 96,8 millas en mi odómetro. Por lo tanto, si los marcadores de millas fueran realmente precisos, estaría subestimando la distancia entre el punto A y el punto B en un 1,2 por ciento. Nuestro "mejor" valor de la circunferencia de la Tierra podría tener un error del 5,5 por ciento, no sólo del 4,3 por ciento. Pero... ¿cómo sabemos si los marcadores de millas se colocaron con precisión? ¿Mi odómetro habría dado el mismo kilometraje si mis neumáticos hubieran estado más inflados? Como puedes ver, las preguntas nunca terminan. Esta es una característica común de las mediciones científicas.
Observo que en la investigación científica real uno no sabe la "verdadera respuesta" de lo que estamos tratando de medir. Hay incertidumbres numéricas cuantificables, pero los resultados siempre acaban teniendo una mezcla de errores aleatorios y sistemáticos. Sin embargo, si dos investigadores independientes miden lo mismo, deberían obtener la misma respuesta, dentro de los errores. Una comparación de sus dos conjuntos de datos permite estimar el tamaño de los errores sistemáticos.
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